решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.
Рассмотрим, как решать показательные неравенства, содержащих степени с разными основаниями. Решение таких неравенств аналогично решению соответствующих .
{5^{{x^2} - x - 1}} - {2^{{x^2} - x}}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Группируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее для этого развести их по разные стороны неравенства:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Из каждой пары степеней выносим за скобки общий множитель — степень с меньшим показателем. Вынести за скобки общий множитель- значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели вычитаем:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Делить можно сразу на 20 (20=4∙5), но практика показывает, что деление в два этапа позволяет избежать возможных ошибок:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как основание 2/5<1, показательная функция
убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:
Квадратичное неравенство решим методом интервалов . Нули функции, стоящей в левой части неравенства — x1=-1; x2=2. Отмечаем их на числовой прямой.
Для проверки знака возьмем нуль: 0²-0-2=-2, в промежуток, которому принадлежит нуль, ставим «-«. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как решаем неравенство, в котором левая часть меньше нуля, выбираем промежуток со знаком «-«.
Ответ: x ∈ (-1; 2).
Вариант неравенств такого вида — все степени имеют одинаковые основания, но отличаются коэффициентами при x в показателях.
В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Пришли к показательному неравенству . Так как основание 7>1, функция
возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:
Чтобы решить это неравенство методом интервалов перенесем все слагаемые в левую часть и приведём дроби к
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .
Основные свойства показательной функции y = a x :
График показательной функции
Графиком показательной функции является экспонента :
Графики показательных функций (экспоненты)
Решение показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.
Ответ: x = 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.
Ответ: x = 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .
Ответ: x = 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.
Ответ: x = -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2.
Решение показательных неравенств
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
t , находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.
Ответ: x = 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.
Решение неравенств. Неравенства бывают разных видов и требуют разного подхода к их решению. Если вы не желаете тратить время и силы на решение неравенств или решили неравенство самостоятельно и хотите проверить, верный ли ответ вы получили, то предлагаем вам решать неравенства онлайн и воспользоваться для этого нашим сервисом Math24.su. Он решает как линейные, так и квадратные неравенства, в том числе иррациональные и дробные неравенства. Обязательно укажите обе части неравенства в соответствующих полях и выберете знак неравенства между ними, затем нажмите кнопку «Решение». Чтобы продемонстрировать как в сервисе реализовано решение неравенств, можно просмотреть различные виды примеров и их решений (выбираются справа от кнопки «Решение»). Сервис выдает как интервалы решения, так и целочисленные значения. Пользователи, которые попадают на Math24.su впервые, восхищаются высокой скоростью работы сервиса, ведь решить неравенства онлайн можно за считанные секунды, а пользоваться сервисом можно абсолютно бесплатно неограниченное количество раз. Работа сервиса автоматизирована, вычисление в нем делает программа, а не человек. Вам не нужно устанавливать себе на компьютер какое-либо программное обеспечение, регистрироваться, вводить личные данные или e-mail. Также исключены опечатки и ошибки в расчетах, полученному результату можно доверять на 100%. Преимущества решения неравенств онлайн. Благодаря высокой скорости и удобству использования сервис Math24.su стал надежным помощником многих школьников и студентов. Неравенства часто встречаются в школьных программах и курсе института по высшей математике и те, кто использует наш онлайн сервис, получают большие преимущества перед остальными. Math24.su доступен круглосуточно, не требует регистрации, платы за использование и вдобавок мультиязычен. Не стоит пренебрегать онлайн сервисом и тем, кто ищет решение неравенств самостоятельно. Ведь Math24.su – это отличная возможность проверить правильность своих вычислений, найти, где совершена ошибка, просмотреть, как решаются различные виды неравенств. Еще одна причина, по которой будет более рационально решать неравенства онлайн, это когда решение неравенств не является основной задачей, а только ее частью. В этом случае просто нет смысла тратить много времени и сил на вычисление, а лучше доверить его онлайн сервису, в то время как самому сосредоточиться на решении основной задачи. Как видно, онлайн сервис для решения неравенств будет полезен как тем, кто самостоятельно решает данный вид математических задач, так и тем, кто не хочет тратить время и усилия на длительные расчеты, а нуждается в быстром получении ответа. Поэтому, когда вы сталкиваетесь с неравенствами, то не забывайте использовать наш сервис, чтобы решать любые неравенства онлайн: линейные, квадратные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические. Что такое неравенства и как они обозначаются. Неравенство выступает обратной стороной равенства и как понятие связано со сравнением двух объектов. В зависимости от характеристик сравниваемых объектов, мы говорим выше, ниже, короче, длиннее, толще, тоньше и т.д. В математике смысл неравенств не теряется, но здесь речь идет уже про неравенства математических объектов: числа, выражения, значения величин, фигур и т.д. Принято использовать несколько знаков неравенств: , ≤, ≥. Математические выражения с такими знаками и называют неравенствами. Знак > (больше) ставится между большим и меньшим объектами, Знак обозначают строгие неравенства. Нестрогие неравенства описывают ситуацию, когда одно выражение «не больше» («не меньше») другого. «Не больше» означает, что меньше или столько же, а «не меньше» значит, что больше или столько же.
Урок и презентация на тему: "Показательные уравнения и показательные неравенства"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"
Определение показательных уравнений
Ребята, мы изучили показательные функций, узнали их свойства и построили графики, разобрали примеры уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы будем изучать показательные уравнения и неравенства.Определение. Уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ называются показательными уравнениями.
Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме "Показательная функция", можно ввести новую теорему:
Теорема. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Примеры показательных уравнений
Пример.Решить уравнения:
а) $3^{3x-3}=27$.
б) ${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
в) $5^{x^2-6x}=5^{-3x+18}$.
Решение.
а) Мы хорошо знаем, что $27=3^3$.
Перепишем наше уравнение: $3^{3x-3}=3^3$.
Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению $3х-3=3$, решив это уравнение, получим $х=2$.
Ответ: $х=2$.
Б) $\sqrt{\frac{2}{3}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}$.
Тогда наше уравнение можно переписать:
${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}={(\frac{2}{3})}^{0,2}$.
$2х+0,2=0,2$.
$х=0$.
Ответ: $х=0$.
В) Исходное уравнение равносильно уравнению:
$x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Ответ: $x_1=6$ и $x_2=-3$.
Пример.
Решить уравнение: $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=16*{(0,0625)}^{x+1}$.
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) ${(0,25)}^{x-0,5}={(\frac{1}{4})}^{x-0,5}$.
2) $\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$.
3) $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=\frac{{(\frac{1}{4})}^{x-0,5}}{4^{\frac{1}{2}}}=
\frac{1}{4^{x-0,5+0,5}}=\frac{1}{4^x}={(\frac{1}{4})}^x$.
Перейдем к правой части:
4) $16=4^2$.
5) ${(0,0625)}^{x+1}=\frac{1}{{16}^{x+1}}=\frac{1}{4^{2x+2}}$.
6) $16*{(0,0625)}^{x+1}=\frac{4^2}{4^{2x+2}}=4^{2-2x-2}=4^{-2x}=\frac{1}{4^{2x}}={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
${(\frac{1}{4})}^x={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
$x=2x$.
$x=0$.
Ответ: $х=0$.
Пример.
Решить уравнение: $9^x+3^{x+2}-36=0$.
Решение:
Перепишем наше уравнение:
${(3^2)}^x+9*3^x-36=0$.
${(3^x)}^2+9*3^x-36=0$.
Давайте сделаем замену переменных, пусть $a=3^x$.
В новых переменных уравнение примет вид:
$a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Выполним обратную замену переменных: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: $х=1$.
Ответ: $х=1$.
Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений:
1. Графический метод.
Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей.
Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований.
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод замены переменных.
Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.
Пример.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} {27}^y*3^x=1, \\ 4^{x+y}-2^{x+y}=12. \end {cases}$.
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
$27^y*3^x=1$.
$3^{3y}*3^x=3^0$.
$3^{3y+x}=3^0$.
$x+3y=0$.
Рассмотрим второе уравнение:
$4^{x+y}-2^{x+y}=12$.
$2^{2(x+y)}-2^{x+y}=12$.
Воспользуемся методом замены переменных, пусть $y=2^{x+y}$.
Тогда уравнение примет вид:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем $x+y=2$. Второе уравнение не имеет решений.
Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: $\begin {cases} x+3y=0, \\ x+y=2. \end {cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
$\begin {cases} 2y=-2, \\ x+y=2. \end {cases}$.
$\begin {cases} y=-1, \\ x=3. \end {cases}$.
Ответ: $(3;-1)$.
Показательные неравенства
Перейдем к неравенствам. При решении неравенств необходимо обращать внимание на основание степени. Возможны два варианта развития событий при решении неравенств.Теорема. Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$.
Если $0
Пример.
Решить неравенства:
а) $3^{2x+3}>81$.
б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
в) ${0,3}^{x^2+6x}≤{0,3}^{4x+15}$.
Решение.
а) $3^{2x+3}>81$.
$3^{2x+3}>3^4$.
Наше неравенство равносильно неравенству:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
Б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
${(\frac{1}{4})}^{2x-4}
В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак.
$2x-4>2$.
$x>3$.
В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: $(-∞;-5]U}